Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница Шпаргалки
Решение задач Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000) Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ТРИГОНОМЕТРИЯ

8. Свойства тригонометрических функций у = sin x и у = cos x и их графики

Заменим х на a , так как х - абсцисса точки на окружности.

  1. D[sin] = D[cos] - (-Ґ , +Ґ ).

    2. Фиксируем произвольное a О R, тогда в силу свойств действительных чисел однозначно определено число a /2p = а0 + r0, где а0 О Z, причем а0 - наибольшее целое число, не превосходящее a /2p , откуда 0 Ј r0 < 1. Обозначим k = а0, тогда a = 2pk + a0, где a0 = 2pr0, следовательно, 0 Ј a0 < 2p .

    В главе "Введение" отмечалось, что a0 « М (x; y), где М - точка на единичной окружности; этой же точке отвечают числа вида a = a0 + 2pk " k О Z, где a = Р AOM.

    Так как

    то для любого a О R определены sina и cosa .

  2. E[sin] = E[cos] - [-1, 1].

    3. В силу основного тригонометрического тождества

    " a О R , аналогично

    откуда -1 Ј cosa Ј 1, -1 Ј sina Ј 1.

    Остается доказать, что E[sin] и E[cos] заполняют весь отрезок [-1, 1] целиком.

    Фиксируем произвольные числа а0, а'0 О [-1, 1], а0 « Мx - Мx (x; 0), а'0 « Мy - Мy (0; y), так как координатные оси - числовые прямые (принимается без доказательства факт взаимно однозначного соответствия между множествами всех действительных чисел и всех точек числовой оси).

    ОМx = а0 и ОМy = а'0 - это величины отрезков ОМx и ОМy соответственно.

    В случаях -1 < a0 < 1 и -1 < a'0 < 1 точки Мx и М'y внутри окружности. Восставляя перпендикуляр из точек Мx и М'y к осям Ох и Оу соответственно, мы получим единственные точки (которые соответственно обозначим за М0 и М'0) их пересечения с верхней и соответственно правой полуокружностями, а также - единственные точки (которые соответственно обозначим за М1 и М'1) их пересечения с нижней и соответственно левой полуокружностями; точке М0 уже однозначно отвечает угол с мерой a0, а точке М1 уже однозначно отвечает угол с мерой a1, соответственно точке М'0 уже однозначно отвечает угол с мерой a'0, а точке М'1 уже однозначно отвечает угол с мерой a'1 .

    В случае синуса

    А в случае косинуса

    sin a'0 = а'0, sin a'1 = а'0, соответственно соs a0 = а0, соs a1 = а0 ;

    a'0 = arcsin а'0, соответственно a0 = arccos а0 и

    a'1 = p - arcsin а'0, соответственно a1 = - arccos а0 .

    При a'0 = -1 в случае синуса точка М'y совпадает с точкой М - М (0; -1), которая в свою очередь совпадает с точкой D, a'0 = -p /2; а в случае косинуса точка Мх совпадает с точкой М - М (-1; 0), которая в свою очередь совпадает с точкой С, a0 = p . Соответствующие перпендикуляры, восстановленные из точек Мx и М'y соответственно, будут касаться единичной окружности.

    При a'0 = 1 в случае синуса точка М'y совпадает с точкой М - М (0; 1), которая в свою очередь совпадает с точкой В, a'0 = p /2; а в случае косинуса точка Мх совпадает с точкой М - М (1; 0), которая в свою очередь совпадает с точкой А, a0 = 0. Соответствующие перпендикуляры, восстановленные из точек Мx и М'y соответственно, будут касаться единичной окружности.

    Отметим, что при и перпендикуляры, восстановленные из точек Мx « а0 и М'y « а'0 к осям Оу и Ох соответственно, не будут иметь общих точек с единичной окружностью, что является геометрическим смыслом отсутствия действительных решений уравнений sin x = a и соs x = a при

  3. Из определений синуса и косинуса с помощью окружности и на основе результатов п. II вытекает

IV. " a О R sin (-a ) = -sin a , cos (-a ) = cos a ,

То есть синус - функция нечетная, а косинус - функция четная.

Доказательство:

Пусть Для a = 0, p/2, p доказываемые равенства сразу получаются из определений синуса и косинуса.

При 0 < a < p /2 (p /2 < a < p ) треугольники ОММх и ОМхМ', где ММ' ^ Ох, получим их равенство по общему катету и гипотенузе, откуда

Р М'ОМх = Р МхОМ = a (p -a) Ю Р МхОМ' = -a (-(p -a)).

Следовательно, cos (-a ) = cos a = х, где Мx - Мx (x; 0).

Так как , то величина отрезка МхМ' (имеется в виду направленный отрезок, параллельный какой-либо числовой оси, то его величина равна его длине (минус его длине), если направление этого отрезка совпадает с положительным (отрицательным) направлением указанной оси) равна минус величине отрезка МхМ, величина отрезка МхМ равна у = sin a , М - М (x; y), величина отрезка МхМ' равна sin (-a ) Ю sin (-a ) = -sin a .

Далее из равенств cos a = cos (-(-a )) = cos (-a ) и sin a = sin (-(-a )) = -sin (-a ) доказывается нечетность синуса и четность косинуса на отрезке [-p ,0], так как если a О [-p ,0], то -a О [0, p], а на этом отрезке соответствующие свойства уже доказаны.

Затем с использованием периодичности (см. п. V) доказываются равенства sin (-a ) = -sin a , cos (-a ) = cos a уже для любого действительного a путем его представления в виде a = a0 + 2pk, k О Z, -p < a0 Ј p и использования того, что эти равенства доказаны для a0 следующим образом:

sin (-a ) = sin (-a0 - 2pk) = sin (-a0) = -sin a0 = -sin (a0 + 2pk) = -sin a ;

cos (-a ) = cos (-a0 - 2pk) = cos (-a0) = cos a0 = cos (a0 + 2pk) = cos a .
  1. R, n О Z sin (a + 2pn) = sin a, cos (a + 2pn) = cos a .

Эти равенства вытекают из определений синуса и косинуса с помощью окружности и того, что углам АОМ с мерами a и a + 2pn отвечает одна и та же точка М - М (x; y) на единичной окружности. Таким образом, функции синус и косинус - периодические с периодами 2pn, n = ± 1, ± 2, … .

2p - основной период этих функций. Это доказывается на основе результатов п. VII с использованием результатов утверждения 4, доказанного во "Введении"; при этом в случае синуса в качестве с, фигурирующего в этом утверждении, берется -p/2, а в качестве d берется 3p/2; в случае косинуса в качестве с берется 0, а в качестве d берется 2p.

На основе этого факта, периодичности этих функций с периодами 2pn и утверждения 3, доказанного во "Введении", вытекает, что никаких других периодов, кроме 2pn, функции sin x и cos x не имеют.

VI. sin a = 0 Ы a = pn "n О Z, так как углам с этими мерами на единичной окружности отвечают точки А или С с нулевыми ординатами.

соs a = 0 Ы a = p/2 + pn "n О Z, так как углам с этими мерами на единичной окружности отвечают точки В или D с нулевыми абсциссами.

sin a > 0 Ы 2pn < a < p + 2pn "n О Z, так как углы с такими мерами оканчиваются в I или II координатных четвертях, или на положительной части оси ординат, где соответствующая ордината у, фигурирующая в определении синуса, положительна.

sin a < 0 Ы -p + 2pn < a < 2pn "n О Z, так как углы с такими мерами оканчиваются в III или IV координатных четвертях, или на отрицательной части оси ординат, где соответствующая ордината у, фигурирующая в определении синуса, отрицательна.

соs a > 0 Ы -p/2 + 2pn < a < p/2 + 2pn "n О Z, так как углы с такими мерами оканчиваются в I или IV координатных четвертях, или на положительной части оси абсцисс, где соответствующая абсцисса х, фигурирующая в определении косинуса, положительна.

соs a < 0 Ы p/2 + 2pn < a < 3p/2 + 2pn "n О Z, так как углы с такими мерами оканчиваются в II или III координатных четвертях, или на отрицательной части оси абсцисс, где соответствующая абсцисса х, фигурирующая в определении косинуса, отрицательна.

VII. Функция синус возрастает на каждом из отрезков [-p/2 + 2pn, p/2 + 2pn] и убывает на каждом из отрезков [p/2 + 2pn, 3p/2 + 2pn] "n О Z.

Функция косинус возрастает на каждом из отрезков [-p + 2pn, 2pn] и убывает на каждом из отрезков [2pn, p + 2pn] "n О Z.

В силу периодичности этих функций и утверждения 2, доказанного во "Введении", достаточно доказать эти утверждения для случая n = 0 .

Рассмотрим разность

где -p/2 Ј х1< х2 Ј p/2 или p/2 Ј х1< х2 Ј 3p/2.

В силу свойств числовых неравенств в первом случае

а во втором случае

откуда в силу результатов п. VI указанная разность в первом случае положительна, а во втором случае отрицательна, что и доказывает свойство монотонности функции синус.

Рассмотрим разность

где 0 Ј х1 < х2 Ј p или -p Ј х1< х2 Ј 0.

В силу свойств числовых неравенств в первом случае

а во втором случае

откуда в силу результатов п. VI указанная разность в первом случае отрицательна, а во втором случае положительна, что и доказывает свойство монотонности функции косинус.

VIII. Графики.

 

 

Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0:
если вам нужно быстро, подробно и недорого
решить контрольную - обращайтесь. Возможны консультации
онлайн. См. раздел "Решение задач".

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач