Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница Шпаргалки
Решение задач Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000) Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ТРИГОНОМЕТРИЯ

1. Введение

Понятие угла и меры.

Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки (в этом случае можно сказать, что угол ориентирован против часовой стрелки) или по часовой стрелке (в этом случае можно сказать, что угол ориентирован по часовой стрелке), причем

а) либо на неполный оборот,

б) либо на целое число полных оборотов, в частности движения может и не происходить (в этих случаях точки М и Е совпадают и угол называется нулевым, его ориентация считается неопределенной),

в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.

Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов вокруг точки О. Нулевые углы считаются равными. На рисунке Р (ОL; ОP) = Р (ОK; ОQ).

Суммой двух углов называется угол, у которого начальных луч совпадает с начальным лучом первого слагаемого угла , а конечный луч совпадает с конечным лучом второго слагаемого угла, при этом предполагается, что данные углы приведены в такое положение, что конечный луч первого слагаемого угла совпадает с начальным лучом второго угла.

Величиной или мерой угла называется поставленное ему в соответствие действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

  1. Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов;
  2. Равные углы имеют равные меры;
  3. Мера суммы двух углов равна сумме мер углов;
  4. Мера нулевого угла равна нулю.

Если сумма двух углов равна нулевому углу, то меры этих углов будут равны по абсолютной величине и различаться лишь знаком (при условии, что каждый из этих углов ненулевой). Эти углы будут иметь противоположную друг другу ориентацию.

Меры углов, ориентированных против часовой стрелки (по часовой стрелки), считаются положительными (отрицательными).

Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная. Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/90 часть прямого угла, а единицей измерения углов в радианной мере является угол величины в один радиан - это такой центральный угол, которой опирается (или стягивает) дугу окружности, по длине равной ее радиусу.

Если обозначить и соответственно градусную и радианную меры, то

В дальнейшем будет использоваться радианная мера угла; в качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.

Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I, II, III, IV (см. рисунок).

В школьном курсе без доказательства принимаются факты: взаимно однозначного соответствия между действительными числами из полуинтервала [0, 2p ) и точками окружности с центром в начале координат единичного радиуса

а уже точке М соответствует бесконечно много углов Р АОМ, меры которых имеют вид 2p k + a 0, k = 0; ± 1; ± 2; …; (a 0 - однозначно определенное по точке М число О [0, 2p )), и только таких углов.

На основе этих фактов и из соотношений между углами и их мерами, которые изучаются в курсе элементарной геометрии, вытекают следующие диапазоны изменения радианных мер углов a :

оканчивающихся в I четверти 2p n < a < p /2 + 2p n;

оканчивающихся в II четверти p /2 + 2p n < a < p + 2p n;

оканчивающихся в III четверти -p + 2p n < a < -p /2 + 2p n;

оканчивающихся в IV четверти -p /2 + 2p n < a < 2p n;

оканчивающихся на полуоси ОА 2p n;

оканчивающихся на полуоси ОB p /2 + 2p n;

оканчивающихся на полуоси ОC p + 2p n;

оканчивающихся на полуоси ОD -p /2+ 2p n;

оканчивающихся на оси абсцисс p n;

оканчивающихся на оси ординат p /2 + p n;

везде n = 0; ± 1; ± 2; … .

Свойства периодической функции.

Докажем несколько утверждений, касающихся периодических функций. На их основе дается строгое обоснование множеств решений простейших тригонометрических уравнений и упрощается исследование промежутков строгой монотонности тригонометрических функций. Также устанавливаются множества всех периодов периодической функции и их основные периоды.

Пусть {X} Н D[f] и множество {{X}+a} представляет собой множество чисел, равных х + а, где х - произвольное число из множества {X}, а - фиксированное действительное число.

Если область определения функции представляет собой область определения множеств

{X}И {{X}+a}И {{X}- a}И {{X}+2a}И {{X}- 2a}И … , то это можно записать

Пусть множество {X} представляет собой или отрезок [c, d], или один из полуинтервалов (c, d] или [c, d), или интервал (c, d), причем каждое из чисел c и d конечно.

Если функция f(x) является периодической с периодом Т = d - c, и определена на множестве {X}, то она будет определена и на множестве

(В случае, когда множество {X} является отрезоком или полуинтервалом, указанное объединение является множеством всех действительных чисел.)

Утверждение 1. Пусть уравнение f(x) = а имеет единственное решение х = х0 на множестве {X}, функция у = f(x) определена на множестве {X}, и является периодической с периодом Т, когда при любом целом значении n х = х0 + nТ является единственным решением этого уравнения на множестве {X} + nТ.

Доказательство.

По определению решения уравнения имеет место равенство f(х0) = а. В силу периодичности функции f(x) при любом целом значении n f(х0 + nТ) = f(х0) = а, а это означает, что число х0 + nТ, которое принадлежит множеству {X} + nТ, является решением уравнения f(x) = а. Предположим, что при некотором целом значении n' существует на множестве {X} + n'Т еще решение рассмотриваемого уравнения х' № х0 + n'Т. Тогда х' = х'0 + n'Т, где х'0 № х0 и х'0 О {X}.

По предположению f(x') = а, а потому в силу периодичности функции f(x) имеют место равенства f(х') = f(х'0 + n'Т) = f(х'0) = а. Это означает, что на множестве {X} существует отличное от х0 решение уравнения f(x) = а. Получили противоречие с единственностью решения этого уравнения на множестве {X}, которое полностью доказывает утверждение.

Утверждение 2. Пусть функция у = f(x) определена на множестве {X}, является периодической с периодом Т и возрастает (убывает) на этом множестве, тогда при любом целом значении n эта функция также возрастает (убывает) на множестве {X} + nТ.

Доказательство.

Фиксируем произвольные х2 > х1 из множества {X} + nТ, тогда числа х'2 = х2 - nТ > х1 - nТ = х'1 будут принадлежать множеству {X}. В силу периодичности функции f(x) и ее возрастания (убывания) на множестве {X} получаем, что

f(х2 ) = f(х2 - nТ ) = f(х'2 ) > (<) f(х'1 ) = f(х1 - nТ ) = f(х1 ),

что и означает возрастание (убывание) этой функции на множестве {X} + nТ.

Утверждение 3. Пусть Т0 - основной период периодической функции у = f(x), определеной на множестве {X}. Тогда числа вида nТ0, где n = 0; ± 1; ± 2; … ; и только они являются периодами этой функции.

Доказательство.

Предположим, что существует некоторое число Т ', отличное от указанных в утверждении, являющееся,периодом этой функции. В силу свойств действительных чисел Т ' можно представить в виде Т ' = n' Т0 + t, где 0 < t < Т0. Если для некоторого х О {X} х + Т ' П D[f], то нарушается условие 1) в определении периодичности функций и потому число Т ' не является периодом функции. Если же это условие 1) для всех х О D[f] применительно к Т ' выполнено, то в силу периодичности функции с периодами nТ0 " n О Z следует, что из х + Т ' О D[f] вытекает х + t О D[f]. Поэтому

" х О D[f] f(х) = f(х + Т ') = f(х + t + nТ0 ) = f(х+ t ),

это означает, что число t является периодом функции. Пришли к противоречию с тем, что Т0 - ее основной период, которое завершает доказательство этого утверждения.

Утверждение 4. Пусть функция у = f(x) определена на множестве {X}, является периодической с периодом Т, множество {X} представляет собой отрезок [c, d], Т = d - c и функция у = f(x) возрастает (убывает) на отрезке [c,(c + d)/2], а также она убывает (возрастает) на отрезке [(c + d)/2, d], тогда число Т является ее основным периодом.

Доказательство.

В силу периодичности функции с указанным в условии периодом f(с) = f [с+ (d-c)] = f(d), а потому в силу условий строгой монотонности функции f(x) на соответствующих отрезках мы имеем:

Следовательно, " х Î (c, d) Þ f(с) < (>) f(x). Поэтому, предполагая существование числа t, такого, что 0 < t < Т = d - c, являющегося периодом функции f(x), мы получаем, в частности, выполнение равенства f(с) = f(с+ t ), но так как c < c + t < c + (d - c) = d, то c + t О (c, d). Получили противоречие, которое и доказывает данное утверждение.

Утверждение 5. Пусть функция у = f(x) определена на множестве {X}, является периодической с периодом Т, множество {X} представляет собой интервал (c, d), Т = d - c и функция у = f(x) возрастает (убывает) на интервале (c, d), тогда число Т является ее основным периодом.

Доказательство.

Предположим, что существует число t, такое, что 0 < t < Т = d - c, также являющееся периодом функции f(x). Тогда, в частности, при любом х Î D[f] должно выполняться равенство f(х) = f(х+ t ). Положим х = d - t, тогда х О (c, d). Если f(d) = f(х+ t ) не определено, то для этого значения х равенство f(х) = f(х+ t ) невозможно, получили противоречие. Если же значение f(d) определено и случайно окажется, что f(d - t) = f(d ), то положим , тогда . В силу положительности числа t, а также того, что t/2 < (d - c)/2 имеют место следующие неравенства:

и

Следовательно, числа х и х+ t принадлежат интервалу (c, d), поэтому значения f(х) и f(х+ t ) определены. В силу того, что х < х+ t, а также возрастания (убывания) функции f(х) на интервале (c, d) вытекает неравенство f(х+ t ) > (<) f(х). Таким образом равенство f(х) = f(х+ t ) не выполняется. Пришли к противоречию, которое полностью доказывает это утверждение.

Определения тригонометрических функций.

Сформулируем определения

sina , cosa , tga , ctga

с помощью единичной окружности, где a - мера угла АОМ с началом - лучом ОА, А - А(1; 0) и концом - лучом ОМ, М - М(х; у) точка единичной окружности.

tga не определен при cosa = 0; ctga не определен при sina = 0.

В силу указанного выше факта о том, какие меры имеют углы, отвечающие точке М на единичной окружности, которая в свою очередь отвечает углу радианной меры a , справедливы формулы периодичности для синуса и косинуса

sin(a + 2p n) = sina ; cos(a + 2p n) = cosa ; n = 0; ± 1; ± 2; … .

 

 

Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0:
если вам нужно быстро, подробно и недорого
решить контрольную - обращайтесь. Возможны консультации
онлайн. См. раздел "Решение задач".

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач