Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Стереометрия

19. Многогранники

Многогранник.

Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Многоугольники, образованные пересечением этих плоскостей, называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две какие-нибудь вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т.е. такие, которые расположены по одну сторону от каждой своей грани.

Призма.

Призмой называется многогранник, у которого две грани - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани - параллелограммы.

Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы; перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки одного основания на другое, называется высотой призмы. Параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а их стороны, соединяющие соответственные вершины оснований, - боковыми рёбрами. У призмы все боковые рёбра равны, как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями.

Плоскость, проведённая через какие-нибудь два боковых ребра, не принадлежащих одной грани призмы, называется диагональной плоскостью.

Призма называется прямой или наклонной, смотря по тому, будут ли её боковые рёбра перпендикулярны или наклонны к основаниям.

Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.

Параллелепипед.

Параллелепипедом называют призму, у которой основаниями служат параллелограммы.

Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основания - прямоугольники.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называется кубом.

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.

Теорема: В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Теорема: В параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пирамида.

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, - треугольники, имеющие общую вершину.

Общая вершина боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, - высотой её.

Плоскость, проведённая через вершину пирамиды и какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.

Пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырёхугольник и т.д. Треугольная пирамида называется тетраэдром; у такой вершины все четыре грани - треугольники.

Пирамида называется правильной, если, во-первых, её основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Высота какого-либо одного из этих треугольников называется апофемой.

Отрезок пирамиды, заключённый между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усечённой пирамидой. Параллельные многоугольники называются основаниями, а расстояние между ними - высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если она составляет отрезок правильной пирамиды.

Свойства параллельных сечений в пирамиде.

Теоремы: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые рёбра делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Теорема: Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Боковая поверхность призмы и пирамиды.

Теорема: Боковая поверхность призмы равна произведению перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Следствие: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Теорема: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.

Теорема: Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.

Объём призмы и пирамиды.

Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом.

За единицу объёмов берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице.

Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Теорема: Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Теорема: Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Теорема: Объём пирамиды равен произведению площади основания на треть высоты.

Подобие многогранников.

Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными.

Теорема: Поверхности подобных многогранников относятся как квадраты сходственных рёбер.

Теорема: Объёмы подобных многогранников относятся как кубы сходственных рёбер.

Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0:
если вам нужно быстро, подробно и недорого
решить контрольную - обращайтесь. Возможны консультации
онлайн. См. раздел "Решение задач".

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач