Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

14. Координаты и векторы на плоскости

Координаты точки. Проведём на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Точку их пересечения обозначим буквой О. Кроме того выберем единицу измерения отрезков. Прямые с выбранными на них направлениями назовём осями координат, одну из них назовём осью абсцисс ( обозначим её Ох), а другую - осью ординат (обозначим её Оу). Тем самым мы ввели на плоскости прямоугольную систему координат.

Введение системы координат даёт возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств. Такой способ изучения геометрических фигур называется методом координат.

Уравнение прямой. Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии.

Уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени: ax+by+c=0.

Уравнение окружности. Выведем уравнение окружности радиусом r с центром в точке С в заданной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (х₀,у₀). Если точка М(х,у) лежит на окружности, то СМ²=r², следовательно её координаты удовлетворяют уравнению (х-х₀)²+(у-у₀)²=r². Если же точка не лежит на окружности, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению, следовательно это уравнение является уравнением окружности.

Тригонометрические функции в геометрии. Рассмотрим прямоугольную систему координат полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат. Отметим на полуокружности произвольную точку и проведем луч через эту точку и начало координат. Градусную меру образовавшегося угла обозначим a. Для любого угла a синусом угла a называется ордината у, а косинусом абсцисса х точки М, расположенной так, что луч ОМ составляет угол в a градусов с положительной полуосью абсцисс.

 

Теоремы синусов и косинусов. Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС, в котором AB=c, BC=a, CA=b. Докажем, что

По теореме о площади треугольника

Из первого равенства получаем absinC=bcsinA . Из этого равенства получаем первое необходимое равенство. Второе равенство получается аналогично.

Теорема. Каждая сторона треугольника равна сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 Векторы на плоскости. Отрезок с выбранным на нём направлением называется направленным отрезком или вектором. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора. Длина нулевого вектора равна нулю, а его направление не определено.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Сумма двух произвольных векторов a и b определяется следующим образом. От какой-нибудь точки А отложим вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный b. Вектор АС называется суммой векторов a и b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Теорема. Для любых векторов a,b,c справедливы равенства

1. a+b=b+a,

2.(a+b)+c=a+(b+c).

 Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор, длина которого равна |k||a|, причём векторы а и ka сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k<0.

Для любых векторов a,b и чисел k,l справедливы свойства:

1. (kl)a=k(la),

2. (k+l)a=ka+la,

3. k(a+b)=ka+kb.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Пусть a и b - два данных вектора. Если вектор р представлен в виде p=xa+yb, где х и у -некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам a и b. Числа х и у называются коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты определяются единственным образом.

Координаты вектора. Чтобы ввести координаты векторов, рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Отложим от точки О два единичных вектора, направление которых совпадает с направлениями координатных осей. Эти векторы обозначаются i и j и называются координатными векторами. Так как координатные вектора не коллинеарны, то любой вектор р можно представить в виде p=xi+yj. Числа х и у называются координатами вектора в данной системе координат.

Для координат векторов справедливы следующие свойства:

1. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат.

2. Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

4. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Скалярное произведение векторов. Пусть a и b - два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы ОА и ОВ. Обозначим градусную меру угла АОВ буквой a и будем говорить, что угол между векторами a и b равен a.

Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти вектора перпендикулярны.

Теорема. Скалярное произведение векторов a{x₁;y₁}и b{x₂;y₂} выражается формулой ab=x₁x₂+y₁y₂.

Следствие 1. Длина вектора с координатами х и у равняется корню квадратному из суммы квадратов координат.

Следствие 2. Ненулевые вектора a{x₁;y₁}и b{x₂;y₂} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x₁x₂+y₁y₂=0.

Свойства скалярного произведения

1. ab=ba,

2. (a+b)c=ac+bc,

3. (ka)b+k(ab).

 

 

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач