Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений

4.1. Уравнения с одной переменной. Теорема Виета

Понятие уравнения. Равносильность уравнений.

Равенство с переменной f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной х. Всякое значение переменной, при котором f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, у которых нет корней. Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны; уравнения и равносильны, так как корней не имеют.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Линейные уравнения.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax = b, где a,b О R; а называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.

Для линейного уравнения ax = b существуют три случая:

1) а № 0; в этом случае корень равен ;

2) а = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0Ч х = 0, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения является любое действительное число;

3) а = 0, b № 0; в этом случае уравнение принимает вид 0Ч х = b, оно не имеет корней.

Квадратное уравнение. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

, где a, b, с О R (a № 0). (1)

Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член. Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения. Если а = 1, то квадратное уравнение

(2)

называется приведенным, его дискриминант .

Теорема 3.

А) Если D і 0, то квадратное уравнение (1) имеет корни , определяемые формулой

(3)

или формулами

, , (4)

причем если D > 0, то , т. е. уравнение (1) имеет два различных действительных корня; если D = 0, то - уравнение имеет два совпадающих корня.

Б) Если D < 0, то квадратное уравнение (1) не имеет действительных корней.

В случае приведенного квадратного уравнения и формулы корней имеют вид

, .

Доказательство: Преобразуем выражение для f(x), применяя метод выделения полного квадрата:

 (5)

А) Если применить при D і 0 формулу разности квадратов, то выражение для квадратного трехчлена преобразуется к виду

,

где определяются из формулы (4). Так как a № 0, то

или , в случаи А) теорема доказана.

Б) При D < 0 очевидно, что при любом действительном х выражение, на которое умножается а в (5), строго положительно, а потому

" а > 0 (а < 0) f(x) > 0 (f(x) < 0),

следовательно, ни при каком действительном значении х квадратный трехчлен не обращается в 0, стало быть, при D < 0 квадратное уравнение (1) не имеет действительных корней.

Теорема 3 полностью доказана.

Теорема 4 (Виета).

Если , соответственно , - корни квадратного уравнения (1) или (2), то

; (6)

(7)

в случае общего (приведенного) квадратного уравнения.

Доказательство:

Равенство (6) получается в результате непосредственного сложения выражений, для , определяемых из (4).

Для доказательства (7) перемножим определяемые из (4) выражения для , получим, применяя формулу разности квадратов и выражение для дискриминанта D,

Теорема Виета доказана.

Обратить внимание на случай уравнения вида

Если , то формула корней этого уравнения имеет вид

.

Теорема 5 (Обратная теорема Виета).

Если числа таковы, что , , где p,q - действительные числа , то - корни квадратного уравнения .

 

 

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач