Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница Шпаргалки
Решение задач Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000) Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Неравенства

6.2. Виды неравенств и способы их решения

Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным называется неравенство вида ax > b (или соответственно ax < b, ax Ј b, ax і b). Если a > 0, то неравенство ax > b равносильно неравенству x > b/а (по теореме 2.), значит, множество решений неравенства есть промежуток (b/а, + Ґ ). Если a < 0, то неравенство ax > b равносильно неравенству x < b/а (по теореме 3 из главы 20), значит, множество решений неравенства есть промежуток (- Ґ, b/а). Если a = 0, то неравенство принимает вид 0Ч x > b, т. е. оно не имеет решений, если b і 0, и верно при любом x, если b < 0. Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.

Неравенства второй степени.

Речь идет о неравенствах вида ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c < 0, где a 0.

Теорема 6.

Если D = b2 - 4ac < 0, а > 0, то при всех значениях x ax2 + bx + c > 0; если а < 0, то при всех значениях x ax2 + bx + c < 0.

Если D = 0, то трехчлен имеет два совпадающих корня (x1 = x2 = -b/2a), то при а > 0 (а < 0) ax2 + bx + c > 0 (< 0) на (-Ґ,-b/2a) И (-b/2a, +Ґ ).

Если D > 0, то при а > 0 (а < 0) ax2 + bx + c = a(x - x1)( x - x2) > 0 (< 0) на (-Ґ,x1) И (x2, +Ґ ),

и ax2 + bx + c < 0 (> 0) на (x1,x2), где x1 - меньший, x2 - больший корни уравнения ax2 + bx + c = 0.

Неравенства с модулями.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Для решения можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Теорема 7.

Если выражения f(x) и g(x) при любых x принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x) > g(x) и (f(x))2 > (g(x))2 равносильны.

Пусть надо решить неравенство .

Так как , при любых x из области определения выражений f(x) и g(x), то данное неравенство равносильно неравенству (f(x))2 > (g(x))2.

Решение рациональных неравенств методом интервалов.

Решение рациональных неравенств вида (вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где p(x), q(x) - многочлены. Представим это неравенство в виде

, где числа a1,…,an+k попарно различны.

Пусть aj - максимальный из коэффициентов. Если x > aj, то каждый из сомножителей (х - ai) > 0 Ю f(x) > 0 на (aj, + Ґ ). На интервале am < x < aj, то х - aj < 0, а все остальные сомножители положительны Ю f(x) < 0 на этом интервале и т. д.: знаки чередуются при переходе через точки ai.

Показательные неравенства.

При решении показательных неравенств следует помнить, что показательная функция y = ax возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1.

Логарифмические неравенства.

При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифмическая функция y = logax возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1.

Решение задач на логарифмы должно начинаться с нахождения ОДЗ. В процессе преобразований нужно следить за ОДЗ и равносильностью преобразований. Рассмотрим некоторые логарифмические неравенства.

Пусть 0 < a 1, то

Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве Х). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Приведем ряд эквивалентных преобразований для избавления от радикалов.

 

http://ростхолод.рф/ доктор холод ремонт холодильников на дому в москве.

 

Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0:
если вам нужно быстро, подробно и недорого
решить контрольную - обращайтесь. Возможны консультации
онлайн. См. раздел "Решение задач".

О нас, дымосос дпэ-7 2цм

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач