Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.
| Главная страница | Шпаргалки |
| Решение задач | Эксклюзивные фото по химии |
| Сочинения (более 4000) | Юмор из жизни учащихся |
| Вернуться в раздел "Учебные материалы" | |
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Неравенства
6.2. Виды неравенств и способы их решения
Линейные неравенства с одной переменной.
Линейным
называется неравенство вида ax > b (или соответственно ax < b, ax Ј b, ax і b). Если a > 0, то неравенство ax > b равносильно неравенству x > b/а (по теореме 2.), значит, множество решений неравенства есть промежуток (b/а, + Ґ ). Если a < 0, то неравенство ax > b равносильно неравенству x < b/а (по теореме 3 из главы 20), значит, множество решений неравенства есть промежуток (- Ґ, b/а). Если a = 0, то неравенство принимает вид 0Ч x > b, т. е. оно не имеет решений, если b і 0, и верно при любом x, если b < 0. Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.Неравенства второй степени.
Речь идет о неравенствах вида
ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c < 0, где a № 0.Теорема 6.
Если
D = b2 - 4ac < 0, а > 0, то при всех значениях x ax2 + bx + c > 0; если а < 0, то при всех значениях x ax2 + bx + c < 0.Если
D = 0, то трехчлен имеет два совпадающих корня (x1 = x2 = -b/2a), то при а > 0 (а < 0) ax2 + bx + c > 0 (< 0) на (-Ґ,-b/2a) И (-b/2a, +Ґ ).Если
D > 0, то при а > 0 (а < 0) ax2 + bx + c = a(x - x1)( x - x2) > 0 (< 0) на (-Ґ,x1) И (x2, +Ґ ),и
ax2 + bx + c < 0 (> 0) на (x1,x2), где x1 - меньший, x2 - больший корни уравнения ax2 + bx + c = 0.Неравенства с модулями.
При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:
Для решения можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.
Теорема 7.
Если выражения
f(x) и g(x) при любых x принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x) > g(x) и (f(x))2 > (g(x))2 равносильны.Пусть надо решить неравенство 
Так как 
при любых x из области определения выражений f(x) и g(x), то данное неравенство равносильно неравенству (f(x))2 > (g(x))2.
Решение рациональных неравенств методом интервалов.
Решение рациональных неравенств вида 
(вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где
, где числа a1,…,an+k попарно различны.
Пусть aj - максимальный из коэффициентов. Если x > aj, то каждый из сомножителей (х - ai) > 0 Ю f(x) > 0 на (aj, + Ґ ). На интервале am < x < aj, то х - aj < 0, а все остальные сомножители положительны Ю f(x) < 0 на этом интервале и т. д.: знаки чередуются при переходе через точки ai.
Показательные неравенства.
При решении показательных неравенств следует помнить, что показательная функция
y = ax возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1.
Логарифмические неравенства.
При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифмическая функция
y = logax возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1.Решение задач на логарифмы должно начинаться с нахождения ОДЗ. В процессе преобразований нужно следить за ОДЗ и равносильностью преобразований. Рассмотрим некоторые логарифмические неравенства.
Пусть 0 <
a № 1, то
Иррациональные неравенства.
При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:
Теорема 8.
Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве Х). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.
Приведем ряд эквивалентных преобразований для избавления от радикалов.
|
Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0: |
|
Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0
Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач