Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Графики функций

5.3. Свойства показательной функции и ее график

Пусть а > 1, a - произвольные действительные числа, r₁, r₂ - произвольные рациональные числа такие, что r₁ Ј a Ј r₂, тогда а^a = b, если a ^r1 Ј b Ј a^r2 для любых указанных выше r₁, r₂ О Q.

Если 0 < а < 1, то а^a = b, если a^r2 _Ј b Ј a ^r1 для любых указанных выше r₁, r₂ О Q.

Если а = 1, то а^a = 1 для любого a О R.

Если а = 0, то а^a = 0 для любого a О R, a > 0.

Функция вида y = a^x называется показательной функцией, а і 0 - постоянное число, х - переменное (аргумент). В школьном курсе без доказательства принимается существование и единственность числа b = а^a ," а и a О R, а > 0.

1. Отсюда область определения функции a^x при а > 0 - любое х О R, а при а = 0 - любое х О R, где х > 0. Случаи а = 0 и а = 1 достаточно тривиальны и подробно рассматриваться не будут.
2. Для любого b > 0 существует единственное a : а^a = b, где 0 < а № 1. Поэтому из определения показательной функции вытекает, что область изменения функции y = a^x - (0 , +Ґ ).
3. max а^a и min а^a нет.

Докажем, что .

Предположим, что $ х₀ О R : и

" x О R : a^x і s > 0,

, но так как Е[a^x ] - (0 , +Ґ ), то в частности

$ х'₀ О R : ,

пришли к противоречию, аналогично доказывается первое утверждение:

.

4. y = a^x не является четной в силу строгой монотонности на (-Ґ , +Ґ ) (см. п. VII), из которой вытекает: "х № 0 "x О R, у(-х) = у(х);

она же не является нечетной, так как принимает только положительные значения, откуда " х О R равенство у(-х) = -у(х) невозможно.

5. y = a^x не является периодической по причине своей строгой монотонности.
6. Так как при а > 1 и r О Q , то, следовательно, b = а^a і а^r > 0, где a і r, r О Q, поэтому нулей нет и a^x > 0 на (-Ґ , +Ґ );

Аналогичные результат и обоснования для 0 < a < 1.

VII. Возрастание функции y = a^x при а > 1 и ее убывание при 0 < a < 1 сначала докажем на множестве рациональных чисел, то есть " r₁, r₂ О Q, r₁ < r₂, " а > 1 (0 < a < 1) Ю a^r2 > a ^r1 (a^r2 < a ^r1 ).

Фиксируем произвольные рациональные числа r₁ < r₂. В силу свойств степеней с рациональными показателями a^r2 - a ^r1 = a ^r1 (a^r2- ^r1 -1). Так как a ^r1 >0 и r₂- r₁ > 0, то достаточно доказать, что " r > 0, r О Q, " а > 1 (0 < a < 1) a^r > 1 (0 < a^r < 1):

.

В силу свойств числовых неравенств и определения корня n - ой степени:

а > 1 (0 < a < 1) Ю a^m > 1 (0 < a^m < 1) Ю Ю .

Тем самым возрастание (убывание) функции y = a^x при а > 1 (0 < a < 1) на множестве рациональных чисел доказано.

Для доказательства соответствующих утверждений на множестве действительных чисел воспользуемся вспомогательным утверждением.

Утверждение.

" а,b О R и a < b $ х О Q такое, что a < x < b.

Фиксируем произвольные х₁, х₂ О R, x₁ < x₂, тогда в силу утверждения существует рациональное число x такое что, x₁ < x < x₂, а так как при этом х О R, то существует также рациональное число х' такое, что x < x' < x_2.

Таким образом " х₁, х₂ О R: x₁ < x₂, $ х, х' О Q такое, что x₁ < x < x' < x_2.

По определению a^x и доказанному возрастанию (убыванию) показательной функции на множестве рациональных чисел при а > 1 (0 < a < 1) имеем:

Ю

Ю

что и означает возрастание (убывание) функции y = a^x на всей области определения, которая есть множество всех действительных чисел.

VIII. Графики.

 

  При х ® +Ґ , а^х ® +Ґ (а^х ® 0 + 0), если а > 1 (0 < a < 1),

при х ® -Ґ , а^х ® 0 + 0 (а^х ® +Ґ ), если а > 1 (0 < a < 1).

 

 

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач