Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Графики функций

5.1. Свойства линейной функции и ее график

Функция вида у = f (x) = ax + b называется линейной функцией. Здесь a и b - постоянные действительные числа, а х - переменная, принимающая действительные значения.

I. D[y] - (-Ґ , +Ґ ), так как " х О R однозначно определено произведение ах и ах + b (в силу действительных чисел, строго доказанных вне пределов школьной программы).

II. Е[y] - { b} , если а = 0, так как " х О R ах + b = 0х +b = b;

Е[y] - (-Ґ , +Ґ ), если а № 0,так как " у О R существует

III. Если а = 0, то (так как " х О R f(x) = b Ю f(x) і b и f(x) Ј b и существует х: f(x) = b);

Если а № 0, то не существует (исходя из пункта II.).

IV. Если а = b = 0, то " х О R f(-x) = f(x) = 0 и f(-x) = 0 = -0 = -f(x) Ю f(x) является одновременно и четной и нечетной.

Если а = 0, b № 0, то " х О R f(-x) = f(x) = b, так как b № -b то f(x) является четной и не является нечетной.

Если b = 0, а № 0, то " х О R f(-x) = а(-х) = -ах =-f(x) , следовательно функция нечетная.

Если бы " х О R f(-x) = f(x), то а(-х) = ах Ы 2ах = 0, поэтому а = 0, что неверно, следовательно, функция f(x) = ax + b не является четной.

Из последних результатов вытекает, что если а № 0, b № 0, то линейная функция не является ни четной, ни нечетной.

V. Если а = 0, " Т № 0, f(x) = ax + b = b = a(x+Т) + b = f(x+Т), следовательно, функция периодическая, любое Т № 0 является периодом.

Если а № 0, то, предполагая существование Т № 0, что f(x) = f(x+Т) Ы ax = a(x+Т) + b Ы aТ, а это неверно, пришли к противоречию; следовательно, функция у = ax + b не периодическая при а № 0.

VI. Если а = b = 0, то f(x) = 0 " х О R, Ю " х О R - нуль функции.

Если а = 0, b № 0, то " х О R f(x) = b № 0, Ю нулей нет;

На (-Ґ , +Ґ ) f(x) > 0 (f(x) < 0) при b > 0 (b < 0).

Если а № 0, b № 0, f(x) = ax + b = 0 Ы , следовательно - единственный нуль функции.

Из свойств числовых неравенств вытекает, что при а > 0

ax + b > 0 (ax + b < 0) Ю

Ю f(x) > 0 (f(x) < 0) на . Аналогично при а < 0

f(x) < 0 (f(x) > 0) на .

VII. Если а > 0 (а > 0), то f(x) = ax + b возрастает (убывает) .

Пусть . Рассмотрим разность . Так как , то .

VIII. График функции у = ax + b - прямая, а = tga , a - величина угла прямой с положительным направлением оси ОХ.

Схема доказательства. Доказывается, что координата (х; у) точек некоторой прямой в декартовой прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению первой степени ах +by +c = 0, точка М(х; у) О прямой Ы , где этой прямой Ю М(х; у) О прямой Ы Ы , где .

Если , то у = kx + l, Проводя прямую через точки (0; b), (1; a + b) графика функции у = ax + b, мы получим, что она описывается уравнением у = kx + l, откуда у(0) = l = b, y(1) = k + b = a + b, Ю k = a, что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач