Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.
Главная страница | Шпаргалки |
Решение задач | Эксклюзивные фото по химии |
Сочинения (более 4000) | Юмор из жизни учащихся |
Вернуться в раздел "Учебные материалы" |
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Числа
2.3. Действительные числа. Свойства числовых неравенств
Действительные числа.
Числа, не являющиеся целыми и дробными называются иррациональными.
Так как любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число, то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь - это иррациональное число.
Например, иррациональным числом является диагональ r квадрата со стороной, равной 1: а также число
p = 3,14159… - отношение длины окружности к диаметру, постоянное для любой окружности.Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел (обозначается R). Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу: отрицательному (со знаком "-"), если она левее начала отсчета; положительному (со знаком "+"), если она правее начала отсчета. Множество действительных чисел называется также числовой прямой.
Сравнение действительных чисел.
Будем считать, что введены правила сравнения для чисел из множества а также установлены свойства: . Введем правила сравнения действительных чисел.
Пусть и положительные числа, по определению считают:
, если ;
или , если 1) либо , 2) либо ;
если - положительное число, - отрицательное число, то по определению считают
; ; ; ; ; ;
и - отрицательные числа, то по определению считают
Ы ; () Ы ().
По правилам сравнения действительных чисел доказываются следующие утверждения:
:- () Ю ().
- Ы ;
- Ы ;
- , Ю ;
5. , Ю ;
Свойства арифметических действий над действительными числами.
справедливы следующие свойства:
- - коммутативность сложения;
- - ассоциативность сложения;
- обратимость сложения: : ;
- - коммутативность умножения;
- - ассоциативность умножения;
- - дистрибутивность умножения относительно сложения;
- ;
- ;
- обратимость умножения: : ;
- ;
- ;
Свойства числовых неравенств.
Если два числа и
() соединены знаком неравенства или одним из соотношений , или , или , или , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство. Неравенства и называют строгими, неравенства и называются нестрогими.справедливы следующие свойства:
- если и , то (свойство транзитивности);
- если , то для любого с ; если для некоторого с , то ( Ы );
- если , то для любого с > 0 ; если для некоторого с> 0 , то ( Ы , с> 0);
- если , то для любого с < 0 ; если для некоторого с< 0 , то ( Ы , с< 0);
- если и , то (возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла);
- если и , то (возможность почленного вычитания неравенств противоположного смысла);
- если , и , , то (возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла неотрицательных чисел);
- если , и , , то (возможность почленного деления неравенств противоположного смысла неотрицательных чисел);
- если , то
- .
- .
- .
(возможность почленного умножения n одинаковых неравенств неотрицательных чисел).
В свойствах 1.-10. Обратить внимание на случаи знаков "<","
і ", "Ј ".В свойствах 2. И 6.-9. Обратить внимание на случаи, когда одно из неравенств строгое, другое нестрогое, в результате неравенство будет строгое.
Доказательства.
1. Ы Ы Ы ,
второе утверждение доказывается аналогично.
2. Ы , Ы Ю
Ы .
3. Ы Ю Ы ;
пусть для некоторого , тогда
Ю .4. Ы Ю Ю ;
пусть для некоторого , тогда
Ю Ю .5. Ы Ю Ю ;
пусть для некоторого , тогда
Ю Ю .6. Ы , Ы Ю
Ы .
7. Ы , Ы Ы Ю
Ы .
8. В силу свойства 2. Из
, Ю (аналогично ),откуда в силу свойства 4. ; при , в силу свойства 2.
;при , а так как , то
.9. Так как
, , то Ю ,в силу свойства 4.
Ы Ы ,в силу свойства 8. или
.10.Воспользуемся формулой
, доказанной ниже, так как числа и не равны, то одно из них точно положительно, а потому , и, следовательно, знак разности совпадает со знаком разности .
Свойства числовых неравенств доказаны полностью.
Модуль действительного числа.
Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется расстояние от начала координат на числовой прямой до точки с координатой
.Свойства:
.
Пропорции.
Пусть , не равные 0, и пусть имеет место равенство . Это равенство называют пропорцией, числа и
- крайними членами, а числа и - средними членами пропорции. Можно использовать записьСправедливы следующие утверждения:
Теорема 1.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов
.
Теорема 2.
Крайние члены пропорции можно поменять местами, т. е.
Теорема3.
Средние члены пропорции можно поменять местами, т. е.
<
|
Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0: |
|
Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0
Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач