Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Числа

2.3. Действительные числа. Свойства числовых неравенств

Действительные числа.

Числа, не являющиеся целыми и дробными называются иррациональными.

Так как любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число, то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь - это иррациональное число.

Например, иррациональным числом является диагональ r квадрата со стороной, равной 1: а также число p = 3,14159… - отношение длины окружности к диаметру, постоянное для любой окружности.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел (обозначается R). Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу: отрицательному (со знаком "-"), если она левее начала отсчета; положительному (со знаком "+"), если она правее начала отсчета. Множество действительных чисел называется также числовой прямой.

Сравнение действительных чисел.

Будем считать, что введены правила сравнения для чисел из множества а также установлены свойства: . Введем правила сравнения действительных чисел.

Пусть и положительные числа, по определению считают:

, если ;

или , если 1) либо , 2) либо ;

если - положительное число, - отрицательное число, то по определению считают

; ; ; ; ; ;

и - отрицательные числа, то по определению считают

Ы ; () Ы ().

По правилам сравнения действительных чисел доказываются следующие утверждения: :

1. () Ю ().
2. Ы ;
3. Ы ;
4. , Ю ;

5. , Ю ;

Свойства арифметических действий над действительными числами.

справедливы следующие свойства:

1. - коммутативность сложения;
2. - ассоциативность сложения;
3. обратимость сложения: : ;
4. - коммутативность умножения;
5. - ассоциативность умножения;
6. - дистрибутивность умножения относительно сложения;
7. ;
8. ;
9. обратимость умножения: : ;
10. ;
11. ;

Свойства числовых неравенств.

Если два числа и () соединены знаком неравенства или одним из соотношений , или , или , или , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство. Неравенства и называют строгими, неравенства и называются нестрогими.

справедливы следующие свойства:

1. 
2. если и , то (свойство транзитивности);
3. если , то для любого с ; если для некоторого с , то ( Ы );
4. если , то для любого с> 0 ; если для некоторого с> 0 , то ( Ы , с> 0);
5. если , то для любого с< 0 ; если для некоторого с< 0 , то ( Ы , с< 0);
6. если и , то (возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла);
7. если и , то (возможность почленного вычитания неравенств противоположного смысла);
8. если , и , , то (возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла неотрицательных чисел);
9. если , и , , то (возможность почленного деления неравенств противоположного смысла неотрицательных чисел);
10. если , то

(возможность почленного умножения n одинаковых неравенств неотрицательных чисел).

В свойствах 1.-10. Обратить внимание на случаи знаков "<","і ", "Ј ".

В свойствах 2. И 6.-9. Обратить внимание на случаи, когда одно из неравенств строгое, другое нестрогое, в результате неравенство будет строгое.

Доказательства.

1. Ы Ы Ы ,

второе утверждение доказывается аналогично.

2. Ы , Ы Ю

Ы .

3. Ы Ю Ы ;

пусть для некоторого , тогда Ю .

4. Ы Ю Ю ;

пусть для некоторого , тогда Ю Ю .

5. Ы Ю Ю ;

пусть для некоторого , тогда Ю Ю .

6. Ы , Ы Ю

Ы .

7. Ы , Ы Ы Ю

Ы .

8. В силу свойства 2. Из , Ю (аналогично ),

откуда в силу свойства 4. ; при , в силу свойства 2. ;

при , а так как , то .

9. Так как , , то Ю ,

в силу свойства 4. Ы Ы ,

в силу свойства 8. или .

10.Воспользуемся формулой, доказанной ниже

, так как числа и не равны, то одно из них точно положительно, а потому , и, следовательно, знак разности совпадает со знаком разности .

Свойства числовых неравенств доказаны полностью.

Модуль действительного числа.

Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется расстояние от начала координат на числовой прямой до точки с координатой .





Свойства:

1. .
2. .
3. .
4. 
5. 

.

Пропорции.

Пусть , не равные 0, и пусть имеет место равенство . Это равенство называют пропорцией, числа и - крайними членами, а числа и - средними членами пропорции. Можно использовать запись

Справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов

.

Теорема 2.

Крайние члены пропорции можно поменять местами, т. е.

Теорема3.

Средние члены пропорции можно поменять местами, т. е.

<

 

 

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач