Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Узнать больше...

Главная страница Шпаргалки
Решение задач Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000) Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Числа

2.2. Целые и рациональные числа. Проценты

Обыкновенные дроби.

Обыкновенная дробь - это число вида , где m и n - натуральные числа. Число m называется числителем дроби, n - знаменателем. Если n = 1, то дробь имеет вид , но чаще пишут просто m, т. е. любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если m кратно n).

Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо пишут . Число, записанное в таком виде, называется смешанным числом. Оно состоит из целой и дробной части.

Равенство дробей. Сокращение дробей.

Две дроби и считаются равными, если ad = bc. Из определения равенства следует, что = , т. к. . Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, числитель и знаменатель которой меньше данных. Такая замена называется сокращением дроби. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то сокращение не возможно и такая дробь называется несократимой.

Арифметические действия над обыкновенными дробями.

Пусть даны две дроби и , . Можно заменить эти дроби другими, равными им, таким, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен Н.О.К.().

1. Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели одинаковые, то числители складывают и оставляют тот же знаменатель: ;

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем применяют правило а).

2. Вычитание обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

а) если знаменатели одинаковые, то

;

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем применяют правило а).

3. Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

.

4. Деление обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

.

Десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Десятичная дробь - это другая форма записи дроби со знаменателем Например, . Если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной; если же дробь несократима и в разложении ее знаменателя на простые множители входят другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

В десятичной дроби можно приписывать и отбрасывать справа нули - получится равная ей дробь.

Дробь, имеющая бесконечное число знаков после запятой, называется бесконечной десятичной дробью.

Теорема 10. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая период, называется периодической.

Пусть задано периодической десятичной дробью: , где - m-значное число, то , ЮЮ - формула перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Проценты.

Среди десятичных дробей наиболее часто используется дробь 0,01, которая называется процентом и обозначается 1% . Так 1% = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5 и т. д.

П р и м е р. Рабочий должен был изготовить за смену 60 деталей. По окончании рабочего дня выяснилось, что он выполнил 125% задания. Сколько деталей изготовил рабочий?

Р е ш е н и е: 1) 125% = 1,25

2)60Ч 1,25 = 75.

О т в е т: 75 деталей.

Координатная прямая.

Возьмем прямую l, отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, зададим направление и единичный отрезок [0;1]. В этом случаи говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу или дроби соответствует одна точка прямой l. Если точка M прямой l соответствует некоторому числу r, то это число называется координатой точки M и обозначается M(r). Числа a и -a называются противоположными. Числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными; числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным. Точка О, соответствующая числу 0, отделяет на координатной прямой точки с положительными координатами от точек с отрицательными координатами.

Заданное направление на координатной прямой называют положительным (обычно он идет направо), а направление, противоположное заданному, - отрицательным.

Целые и рациональные числа.

Натуральные числа 1, 2, 3, … называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, …, противоположные натуральным, называют отрицательными целыми числами. Число 0 также целым. Целые числа - натуральные числа, противоположные им и 0.

Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел.

 

Тенденция 2015 шпон и фанера www.optovik62.ru.

 

Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0:
если вам нужно быстро, подробно и недорого
решить контрольную - обращайтесь. Возможны консультации
онлайн. См. раздел "Решение задач".

 

 

 

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач