Контрольные работы, курсовые, дипломные, рефераты, а также подготовка докладов, чертежей, лабораторных работ, презентаций и еще много всего. Недорого и быстро.

Главная страница	Шпаргалки
Решение задач	Эксклюзивные фото по химии
Сочинения (более 4000)	Юмор из жизни учащихся
Вернуться в раздел "Учебные материалы"

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Алгебраические выражения

3.1. Формулы сокращенного умножения

Понятие алгебраического выражения.

Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок.

Примеры алгебраических выражений:

1); 2); 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных, то оно называется целым (1, 2, 6).

Если алгебраическое выражение составлено с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражение с переменными, то оно называется дробным (3,4).

Целые и дробные выражения называются рациональными.

Если в выражении используется извлечение корня из переменных или возведение переменных в дробную степень, то такое алгебраическое выражение называется иррациональным (5).

Область определения алгебраического выражения. Тождественное преобразование.

Значение переменных, при котором выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Целые выражения имеют смысл при всех значениях переменных; дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, при которых знаменатель обращается в ноль; иррациональное выражение не имеет смысла, когда обращается в отрицательное число выражение, содержащиеся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень.

Если в алгебраическое выражение подставить допустимые значения переменных, то получится числовое выражение; его значение называется значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.

Если соответственные значения двух выражений (при одинаковых значениях переменных), содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях, то выражения называются тождественно равными.

Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Примеры тождеств:

2)- тождество при всех а № 1;

3) - тождество " a,b,c, b № 0; c № 0;

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.

Одночлены. Многочлены.

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения и не содержит других действий над числами и переменными. Например, , а выражение - не является одночленом.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду: представить в виде произведения числового множителя на первом месте и степеней различных переменных. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена. Приведение одночлена к стандартному виду является тождественным преобразованием. Сумму показателей степеней всех переменных называют степенью одночлена.

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называются подобными, если они отличаются только коэффициентами или не отличаются. Подобные одночлены можно складывать и вычитать. Такие действия над одночленами называются приведением подобных членов.

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида. Всякое целое арифметическое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Формулы сокращенного умножения.

К формулам сокращенного умножения относятся формулы вида:

- квадрат суммы и разности двух чисел;
- куб суммы и разности двух чисел;
- разность квадратов двух чисел;

- сумма и разность кубов двух чисел.

Выводятся эти формулы непосредственным перемножением выражений, заключенных в скобки. Таким же способом можно доказать и формулы, обобщающие две последние:

Разложение многочлена на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из своих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочлена на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразованием является следствием распределительного закона. ac + bc = c(a + b).

Обычно при вынесении общего множителя каждую переменную выносят с наименьшим показателем: если коэффициенты целые, то выносят наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Эти формулы во многих случаях оказываются очень полезными при разложении многочлена на множители.

П р и м е р : Разложить на множители .

Р е ш е н и е . .

3)Способ группировки. Способ основан на том, что распределительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен, который как общий множитель может быть вынесен за скобки.

П р и м е р: Разложить на множители .

Р е ш е н и е .

Вы находитесь на сайте Xenoid v2.0:
если вам нужно быстро, подробно и недорого
решить контрольную - обращайтесь. Возможны консультации
онлайн. См. раздел "Решение задач".

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Химия: решение задач